Experimento de Eratóstenes

1 - Introdução

Polaris é uma estrela do tipo variável, de magnitude 1,95 e também é conhecida como “estrela do norte". Apesar de ter sido muito utilizada nas antigas navegações que ainda não contavam com satélites e GPS, Polaris não pode ser vista por qualquer observador na Terra. A estrela está localizada no pólo norte celeste e, se um observador se move na direção sul, deixará de observá-la a medida que se aproxima da Linha do Equador. A geometria esférica da Terra diminui a distância até o horizonte e esconde os objetos, a medida que nos afastamos do Norte geográfico e celeste.

No século XVI, Fernão de Magalhães atravessa o mundo circular de Leste a Oeste, confirmando a forma que já se observava na sombra do planeta Terra projetada na Lua durante os eclipses. No século anterior a Fernão, em 1478, Johannes de Sacro Bosco publica o Tractatus de sphæra[1], onde apresenta as várias evidências de que a Terra é redonda além de explorar o formato circular das órbitas aparentes dos demais planetas. Muito antes da exploração espacial, a humanidade tinha motivos suficientes para acreditar que a Terra era esférica. A crença de que os antigos acreditavam que a Terra era plana não se sustenta.

Muito antes das navegações e da era Cristã entretanto, uma observação bastante particular permitiu que pela primeira vez a circunferência da Terra fosse calculada indiretamente. O filósofo Eratóstenes nasceu em Cirene, colônia grega do século VII a.C, localizada na região onde atualmente se encontra a Líbia. Depois de estudar com o estóico Arísto nem Atenas, tornou-se diretor da Biblioteca de Alexandria. Foi geógrafo, filósofo, matemático, poeta e tendo a sua disposição a curiosidade e o entusiasmo, utilizou sombras e geometria para realizar um dos mais belos experimentos de todos os tempos [2].

2 - O experimento original

Eratóstenes era responsável pela Biblioteca de Alexandria quando soube que, no solstício de verão, um poço na cidade de Syene localizada no Trópico de Câncer (latitude 23,5º) não produzia sombra alguma quando o Sol alcançava seu ponto mais alto, ao meio dia. Nesse mesmo instante, por outro lado, a Torre de Alexandria produzia uma sombra mensurável. Como Alexandria e Syene estão aproximadamente no mesmo meridiano, a hipótese razoável, nesse caso, era de que a geometria esférica da Terra fosse responsável pela diferença nas observações. As coordenadas de Alexandria e Syene estão na Tabela 1 e a construção geométrica que Eratóstenes imaginou é descrita na Figura 1.

 Tabela 1: Coordenadas geográficas de Alexandria e Asuã, no Egito, conforme: http://geographic.org

A distância angular entre Syene e Alexandria pode ser medida conhecendo-se a distância entre as duas cidades e medindo a sombra formada pela Torre. Apesar de não haver consenso quanto à conversão exata das unidades utilizadas por Eratóstenes (os estádios), o ângulo medido foi de ∼ 7, 2º, o que equivale a 1/50 de uma circunferência (C) completa (360º). Nesse caso,

logo, como C = 2πR,

que é uma medida indireta do raio. O resultado de Eratóstenes é supreendentemente próximo dos valores atuais para o raio polar da Terra de 6356 km.

3 - O experimento

A posição das cidades do experimento original exigia que o experimento fosse realizado no solstício, uma vez que nessa época, a inclinação da Terra em relação ao eixo da eclítica é de 23, 4º. Veja a figura (2).

Nessa condição os raios solares incidiem na direção perpendicular ao poço de Asuã, próximo ao Trópico de Câncer, como notado por Eratóstenes. Uma situação análoga para o hemisfério Sul pode ser obtida no equinócio de primavera (3).

A metodologia original pode ser adaptada se considerarmos a diferença dos ângulos medidos por dois observadores no mesmo meridiano, como na figura abaixo. As medidas são feitas no meio-dia solar: em Cajazeiras/PB, no dia da medida deve ocorrer próximo às 11:26, conforme o NOAA Solar Calculator (https://www.esrl.noaa.gov/gmd/grad/solcalc/).

Na atividade, consideramos que um dos observadores, explicitamente, o que mede θA, na fig. (4), estaria localizado exatamente na linha do Equador, que corresponde a latitude 0. A distância até o Equador é de 761890,15m¹, conforme a calculadora geográfica do INPE (http://www.dpi.inpe.br/calcula/)
Explicitamente, o cálculo será, conforme a figura:

analogamente ao cálculo anterior. Como já foi discutido, devido a posição do Sol no solstício, o ângulo medido nessa coordenada é θA = 0, caso em que a haste não projeta nenhuma sombra. Assim, teremos

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1 O equivalente á 4,84×10³ estádios, se utilizarmos as unidades que Eratóstenes utilizou na medida original.

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4 Resultados e discussões

O experimento teve início as 11:00h do dia 23 de setembro, data que marca o equinócio de primavera do hemisfério sul. Na tentativa de minimizar erros, foram montadas três estacas. Os grupos realizaram medidas em horários diferentes, em torno do meio dia solar, em cada uma das estacas. As medidas estão na Tabela (2). As coordenadas de Cajazeiras e da referência estão na Tabela (3) e os demais dados estão sumarizados abaixo:

Altura da estaca: 87cm;

Meio dia solar: 11h26m41s;

Distância até o Equador: 761,89015km

Tabela 2: Planilhas de dados: Experimento de Eratóstenes 2019. Si é a medida da sombra da estaca i.

A menor sombra foi obtida na primeira medida,ás 11:23, antes do previsto pela calculadora do NOAA. Notemos que as estacas 2 e 3 apresentam medidas muito menores

Tabela 3: Coordenadas geográficas de Cajazeiras e da Linha do Equador, conforme: http://geographic.org

do que a estaca 1. É preciso salientar que as condições das três estacas não eram idênticas. Na montagem, não foi possível alinhar as hastes 2 e 3 adequadamente. Ademais, acreditamos que a alta temperatura no horário do experimento tenha dilatado as placas de metal dos suportes, alterando consideravelmente as medidas. As medidas da estaca 1 estão mais consistentes com àquelas realizadas no equinócio de outono. As
medidas das hastes 2 e 3 foram descartadas.

O ângulo obtido nesse caso, das medidas da haste 1 será,

o que equivale a R = 1/47 de uma circunferência completa. Se a distância até o Equador é de 761890,15m, então a circunferência completa será obtida da relação

Se considerarmos o valor para o raio polar da Terra[3], a circunferência será de 40030,2km e o erro total é de 10,5%.

Parte do erro se deve, como já citamos, a dificuldade de alinhar as hastes e o fato de haver apenas uma medida, dificultando a minimização dos erros. O material das hastes deve ser substituído para evitar o problema da dilatação térmica e o alinhamento deverá ser feito com antecedência.

Embora o erro tenha sido maior do que na primeira medida em março, ele ainda é aceitável, uma vez que havia apenas uma haste. Nas medidas do outubro, o erro ficou em torno de 2% e foi obtido com apenas uma haste e dois pontos de referência com ângulos não nulos.

5 Bibliografia

Referências

[1] SACRO BOSCO, Johannes de. Tractatus de sphæra / Tratado da esfera [1478]. Editado e traduzido por Roberto de Andrade Martins. [Edition and Portuguese translation of Johannes de Sacrobosco’s Treatise on the sphere]. Campinas: Universidade Estadual de Campinas, 2006.

[2] CREASE, Robert P. Os dez mais belos experimentos científicos. Zahar, 2006.

[3] NASA Space Science Data Coordinated Archive: https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet